উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যে মূলদ ভগ্নাংশের লবের ঘাত হরের ঘাত অপেক্ষা ছোট, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ভগ্নাংশটির লব $x^2+1$ এর ঘাত $2$ এবং হর $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ এর ঘাতও $2$। লবের ঘাত হরের ঘাতের সমান হওয়ায় ভগ্নাংশটি অপ্রকৃত।
   লবকে হর দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল $1$ এবং ভাগশেষ $(x^2+1)-(x^2-3x+2)=3x-1$ পাওয়া যায়।
   অতএব, $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)}=1+\dfrac{3x-1}{(x-1)(x-2)}$। এখানে $1$ বহুপদী এবং $\dfrac{3x-1}{(x-1)(x-2)}$ প্রকৃত ভগ্নাংশ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর লবকে হর দ্বারা ভাগ করে পাই, $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)}=1+\dfrac{3x-1}{(x-1)(x-2)}$।
   ধরি, $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)}\equiv 1+\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}$ ...... (1)
   (1) এর উভয়পক্ষকে $(x-1)(x-2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $x^2+1\equiv (x-1)(x-2)+A(x-2)+B(x-1)$ ...... (2)
   যা $x$ এর সকল মানের জন্য সত্য।
   (2) এ $x=1$ বসিয়ে পাই, $2=A(1-2)$ বা, $A=-2$।
   (2) এ $x=2$ বসিয়ে পাই, $5=B(2-1)$ বা, $B=5$।
   $A$ ও $B$ এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
   $\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x-2)}\equiv 1-\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{5}{x-2}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।