উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ওই বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $OQ$ ব্যাসার্ধ এবং $PQ$ স্পর্শক বলে $\angle OQP = 90^\circ$। সমকোণী $\triangle OPQ$ এ $OP = 10$ মি., $OQ = 6$ মি.। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে $PQ^2 = OP^2 - OQ^2 = 100 - 36 = 64$। সুতরাং $PQ = 8$ মিটার। একইভাবে $PR = 8$ মিটার। প্রতিটি পথের দৈর্ঘ্য 8 মিটার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর নকশার মাপে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি. এবং $OP = 5$ সে.মি.।
   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কে কেন্দ্র করে 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি এবং $O$ থেকে 5 সে.মি. দূরে $P$ বিন্দু নিই। $O, P$ যোগ করি।
   ২. $OP$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করি, মধ্যবিন্দু $M$।
   ৩. $M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি, যা প্রদত্ত বৃত্তকে $Q$ ও $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $P, Q$ এবং $P, R$ যোগ করি। তাহলে $PQ$ ও $PR$ ই নির্ণেয় স্পর্শক।
   প্রমাণ: $O, Q$ যোগ করি। $OP$ ব্যাসবিশিষ্ট অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $\angle OQP = 90^\circ$। অর্থাৎ ব্যাসার্ধ $OQ$ এর প্রান্তবিন্দু $Q$ তে $PQ$ লম্ব। সুতরাং $PQ$ বৃত্তের স্পর্শক। একইভাবে $PR$ ও স্পর্শক।