উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $y \leq b$ অসমতার লেখ হবে $y = b$ রেখার ওপরস্থিত সকল বিন্দু এবং রেখাটির নিচের দিকের সকল বিন্দুর সেট।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রথমে $3x + 2y = 20$ সমীকরণের রেখাটি আঁকা হয়, যা অক্ষদ্বয়কে $\left(\frac{20}{3}, 0\right)$ ও $(0, 10)$ বিন্দুতে ছেদ করে। রেখাটি মূলবিন্দুগামী নয়, তাই $(0, 0)$ বিন্দুটি নির্বাচন করা সুবিধাজনক। $(0,0)$ বসিয়ে পাই $3 \times 0 + 2 \times 0 = 0 \leq 20$, অর্থাৎ বিন্দুটি অসমতাকে সিদ্ধ করে। তাই অসমতাটির লেখ হবে রেখাটি এবং রেখার যে পাশে মূলবিন্দু আছে সেই পাশের সকল বিন্দুর সেট। বিন্দুটি সিদ্ধ না করলে বিপরীত পাশ নিতে হতো।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর শর্তসমূহ: $x \geq 2$, $y \geq 1$, $3x + 2y \leq 20$। অভীষ্ট ফাংশন $z = \text{Max}(4x + 5y)$।

   $x = 2$ রেখা $Y$ অক্ষের সমান্তরাল; $x \geq 2$ এর লেখ রেখাটির ডানপাশে। $y = 1$ রেখা $X$ অক্ষের সমান্তরাল; $y \geq 1$ এর লেখ রেখাটির ওপরের পাশে। $3x + 2y \leq 20$ এর লেখ মূলবিন্দুর দিকে। এই তিনটির সাধারণ এলাকা একটি ত্রিভুজ।

   কৌণিক বিন্দু নির্ণয়:
   $x = 2$ ও $y = 1$ এর ছেদবিন্দু $A(2, 1)$।
   $x = 2$ ও $3x + 2y = 20$ এর ছেদবিন্দু: $6 + 2y = 20$ বা $y = 7$, তাই $B(2, 7)$।
   $y = 1$ ও $3x + 2y = 20$ এর ছেদবিন্দু: $3x + 2 = 20$ বা $x = 6$, তাই $C(6, 1)$।

   $A(2, 1)$ বিন্দুতে $z = 8 + 5 = 13$
   $B(2, 7)$ বিন্দুতে $z = 8 + 35 = 43$
   $C(6, 1)$ বিন্দুতে $z = 24 + 5 = 29$

   সর্বোচ্চ মান 43, যা $B(2, 7)$ বিন্দুতে। অতএব, ফারিহা 2 ঘণ্টা গণিত ও 7 ঘণ্টা ইংরেজি পড়লে মোট শিক্ষণ-অগ্রগতি সর্বোচ্চ 43 একক হবে।