উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যদি $P(x)$ ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং $P(a) = 0$ হয়, তবে $(x - a)$ বহুপদী $P(x)$ এর একটি উৎপাদক হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $2x + 1 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)$ হওয়ায় ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী ভাগশেষ $V\left(-\frac{1}{2}\right)$। $V\left(-\frac{1}{2}\right) = 6\left(-\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{4} - 19\left(-\frac{1}{2}\right) + 6 = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{19}{2} + 6 = -\frac{1}{2} + 9.5 + 6 = 15$। সুতরাং ভাগশেষ $15$। ভাগশেষ অশূন্য বলে $(2x + 1)$, $V(x)$ এর উৎপাদক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধ্রুবপদ $6$ এর উৎপাদক $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$। $V(1) = 6 + 1 - 19 + 6 = -6 \neq 0$; $V(-2) = -48 + 4 + 38 + 6 = 0$। তাই $(x + 2)$ একটি উৎপাদক। $V(x) = 6x^3 + 12x^2 - 11x^2 - 22x + 3x + 6 = 6x^2(x + 2) - 11x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(6x^2 - 11x + 3)$। আবার $6x^2 - 11x + 3 = 6x^2 - 9x - 2x + 3 = 3x(2x - 3) - 1(2x - 3) = (2x - 3)(3x - 1)$। সুতরাং $V(x) = (x + 2)(2x - 3)(3x - 1)$। $x = 3$ হলে তিনটি উৎপাদকের মান যথাক্রমে $5$, $3$ ও $8$। অতএব মাত্রা $5$ সে.মি., $3$ সে.মি. ও $8$ সে.মি. এবং আয়তন $= 5 \times 3 \times 8 = 120$ ঘন সে.মি.। যাচাই: $V(3) = 162 + 9 - 57 + 6 = 120$, যা মিলে যায়।