উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বাস্তব সংখ্যার সেটে প্রতিটি $a$ এর জন্য এমন একটি $-a \in \mathbb{R}$ আছে যেন $a + (-a) = (-a) + a = 0$ হয়। এখানে $-a$ কে $a$ এর যৌগিক বিপরীতক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেহেতু $c \in \mathbb{R}$ এবং $c \neq 0$, তাই গুণন বিপরীতক $c^{-1} \in \mathbb{R}$।
   দেওয়া আছে, $ac = bc$
   গুণনের অনন্যতা বিধি অনুসারে, $(ac)c^{-1} = (bc)c^{-1}$
   গুণনের সংযোগ বিধি অনুসারে, $a(cc^{-1}) = b(cc^{-1})$
   গুণনের বিপরীতক বিধি অনুসারে, $a \cdot 1 = b \cdot 1$
   গুণনের অভেদক বিধি অনুসারে, $a = b$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রমাণ: $a \neq 0$ বলে $a^{-1} \in \mathbb{R}$। $ab = 0$ হলে গুণনের অনন্যতা বিধি অনুসারে $a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0$।
   বামপক্ষ $= a^{-1}(ab) = (a^{-1}a)b = 1 \cdot b = b$ (সংযোগ, বিপরীতক ও অভেদক বিধি)।
   ডানপক্ষ $= a^{-1} \cdot 0 = 0$ (কারণ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $a$ এর জন্য $a \cdot 0 = 0$)।
   সুতরাং $b = 0$। অর্থাৎ $ab = 0$ হলে $a = 0$ অথবা $b = 0$ হবে।
   সমাধান: $(2x - 6)(x^2 - x - 12) = 0$
   বা, $2(x - 3)(x - 4)(x + 3) = 0$
   উপরের ধর্ম বারবার প্রয়োগ করে পাই, $x - 3 = 0$ অথবা $x - 4 = 0$ অথবা $x + 3 = 0$।
   অর্থাৎ $x = 3$ অথবা $x = 4$ অথবা $x = -3$।
   সমাধান সেট $= \{-3, 3, 4\}$।