উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P$ এর প্রতিটি পদের মাত্রা $3$ (যেমন $xy^2$, $xyz$)। অতএব, $P$ তিন মাত্রার সমমাত্রিক রাশি।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P$ কে $x$ এর বহুপদী $P(x)$ ধরি। $x=-(y+z)$ বসিয়ে পাই,
   $P(-y-z)=-(y+z)(y^2+z^2)+y(z^2+(y+z)^2)+z((y+z)^2+y^2)-3yz(y+z)$
   $=-(y+z)(y^2+z^2)+yz^2+zy^2+(y+z)^3-3yz(y+z)$
   $=(y+z)\{-(y^2+z^2)+yz+(y+z)^2-3yz\}$
   $=(y+z)\{-y^2-z^2+yz+y^2+2yz+z^2-3yz\}=(y+z)\times 0=0$।
   সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $x-\{-(y+z)\}=x+y+z$ রাশিটি $P$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর খ থেকে $(x+y+z)$ একটি উৎপাদক। $P$ তিন মাত্রার সমমাত্রিক চক্রক্রমিক বহুপদী এবং এক মাত্রার একটি উৎপাদক পাওয়া গেছে। সুতরাং অপর উৎপাদক দুই মাত্রার সমমাত্রিক চক্রক্রমিক হবে, অর্থাৎ $k(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)$ আকারের, যেখানে $k$, $m$ ধ্রুবক।
   অতএব, $P=(x+y+z)\{k(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx)\}$ ...... (1)
   যা $x,y,z$ এর সকল মানের জন্য সত্য।
   (1) এ $x=0$, $y=0$, $z=1$ বসিয়ে পাই, $0=1\times k$ বা, $k=0$।
   (1) এ $x=1$, $y=1$, $z=0$ বসিয়ে পাই, $1+1+0+0=2$ বা, $2=2(2k+m)$ বা, $2k+m=1$। $k=0$ হলে $m=1$।
   $k$ ও $m$ এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
   $P=(x+y+z)(xy+yz+zx)$, যা নির্ণেয় উৎপাদক।