উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর নির্দিষ্ট বিন্দুতে রেখার উপর লম্ব এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ও বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকলে এ দুইয়ের ছেদবিন্দুই বৃত্তের কেন্দ্র।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বৃত্তটি $AB$ রাস্তাকে $A$ বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়। তাই কেন্দ্র $O$ হলে $OA \perp AB$ হবে। সুতরাং $O$ বিন্দু অবশ্যই $A$ বিন্দুতে $AB$ এর উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার ওপর থাকবে। এই লম্বই বৃত্তের একটি ব্যাস বহন করে। এর সাথে $AP$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুতেই কেন্দ্র পাওয়া যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $AB$ রেখার $A$ বিন্দুতে $\angle PAB = 60^\circ$ এবং $AP = 4$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $A$ বিন্দুতে $AB$ এর উপর লম্ব $AC$ আঁকি (যেন $P$ এর দিকে থাকে)।
   ৩. $AP$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $QR$ আঁকি, যা $AC$ কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই উদ্দিষ্ট বৃত্ত।
   প্রমাণ: $O$ বিন্দু $AP$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $OA = OP$ এবং বৃত্তটি $P$ দিয়ে যায়। $OA \perp AB$ বলে $AB$ বৃত্তকে $A$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।
   ব্যাসার্ধ নির্ণয়: $\angle OAP = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$। $\triangle OAP$ এ $OA = OP$ বলে $\angle OPA = 30^\circ$। $O$ থেকে $AP$ এর উপর লম্ব $OM$ আঁকলে $M$ হয় $AP$ এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AM = 2$ সে.মি.। সমকোণী $\triangle OAM$ এ $\cos 30^\circ = \frac{AM}{OA}$ বা $OA = \frac{2}{\cos 30^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31$ সে.মি.।
   উত্তর: ব্যাসার্ধ প্রায় 2.31 সে.মি.