উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $1000 = 10^3$ হওয়ায় $\log_{10} 1000 = 3$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $\log_a y = m$ এবং $\log_a x = n$। সংজ্ঞা অনুযায়ী $a^m = y$ এবং $a^n = x$।
   এখন $(a^m)^n = y^n$, অর্থাৎ $y^n = a^{mn}$।
   আবার $(a^n)^m = x^m$, অর্থাৎ $x^m = a^{mn}$।
   $\therefore x^m = y^n$ অর্থাৎ $x^{\log_a y} = y^{\log_a x}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $p = 2\log_{27} A = 2\log_{3^3} A = \dfrac{2}{3}\log_3 A$
   $q = 2\log_3 (3A) = 2(\log_3 3 + \log_3 A) = 2 + 2\log_3 A$
   দেওয়া আছে $q - p = 4$
   বা, $2 + 2\log_3 A - \dfrac{2}{3}\log_3 A = 4$
   বা, $\dfrac{4}{3}\log_3 A = 2$
   বা, $\log_3 A = \dfrac{3}{2}$
   বা, $A = 3^{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{3}$
   উত্তর: $A = 3\sqrt{3}$