উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি, $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা নয়, অর্থাৎ মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$, যেখানে $p, q$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $1$ ব্যতীত এদের অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। বর্গ করে পাই, $p^2 = 3q^2$ ... (i)। সুতরাং $p^2$ সংখ্যাটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য। $3$ মৌলিক সংখ্যা বলে $p$ ও $3$ দ্বারা বিভাজ্য। ধরি, $p = 3c$। (i) এ বসিয়ে পাই, $9c^2 = 3q^2 \Rightarrow q^2 = 3c^2$। অতএব $q^2$ এবং তাই $q$ ও $3$ দ্বারা বিভাজ্য। তাহলে $p$ ও $q$ উভয়ই $3$ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ এদের একটি সাধারণ উৎপাদক $3$ আছে। এটি আমাদের প্রবজনার বিরোধী। সুতরাং $\sqrt{3}$ মূলদ সংখ্যা হতে পারে না; $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)