উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x)=|x|$ এর ডোমেন $D_f=\mathbb{R}$ এবং রেঞ্জ $R_f=[0,\infty)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধাপ ১: $y=|x|$ এর লেখচিত্রকে ১ একক বামে সরালে $y=|x+1|$ এর লেখচিত্র পাওয়া যায়, কারণ $x$ এর সাথে ধনাত্মক ধ্রুবক যোগ করলে লেখচিত্র বামে সরে।
   ধাপ ২: $y=|x+1|$ কে $-1$ দ্বারা গুণ করলে অর্থাৎ $y=-|x+1|$ পেতে লেখচিত্রকে $x$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিফলিত করতে হয়।
   ধাপ ৩: $y=-|x+1|$ এর সাথে ৩ যোগ করলে লেখচিত্রটি ৩ একক ওপরে সরে গিয়ে $y=3-|x+1|$ এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ডোমেন: $x$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $k(x)$ সংজ্ঞায়িত, তাই $D_k=\mathbb{R}$।
   রেঞ্জ: $|x+1|\ge0$ বলে $3-|x+1|\le3$। তাই $R_k=(-\infty,3]$।
   শীর্ষবিন্দু: $|x+1|=0$ হলে $x=-1$ এবং $y=3$। শীর্ষবিন্দু $(-1,3)$ এবং লেখচিত্র $x=-1$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
   $y$-অক্ষের ছেদবিন্দু: $x=0$ হলে $y=3-1=2$, বিন্দুটি $(0,2)$।
   $x$-অক্ষের ছেদবিন্দু: $y=0$ হলে $|x+1|=3$, অর্থাৎ $x+1=\pm3$, তাই $x=2$ অথবা $x=-4$। বিন্দু দুইটি $(2,0)$ ও $(-4,0)$।
   বিপরীত ফাংশন নেই: $y=2$ রেখাটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল। এটি লেখচিত্রকে $(0,2)$ ও $(-2,2)$ এই দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে (কারণ $k(0)=k(-2)=2$)। অনুভূমিক রেখা একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে বলে $k$ এক-এক নয়, তাই $k$ এর বিপরীত ফাংশন নেই।