শিক্ষক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে 2^sqrt2 এর মান নির্ণয় দ…

উচ্চতর গণিত • সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন (Exponential and Logarithmic Function)

শিক্ষক ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে $2^{\sqrt{2}}$ এর মান নির্ণয় দেখালেন। $\sqrt{2} = 1.41421356\cdots$ এর আসন্ন মান ধরে নিচের সারণি তৈরি করা হলো:

$\sqrt{2}$ এর আসন্ন মান ( $p$ )	$2^p$
$1.4$	$2.6390$
$1.41$	$2.6574$
$1.414$	$2.6648$

বাস্তবে $2^{\sqrt{2}} = 2.6651\cdots$ ।

ক)
অমূলদ সূচকের ক্ষেত্রে $a^x$ ( $a > 0$ ) এর মান কীভাবে নির্দিষ্ট করা হয়?
(2)
খ)
সারণিতে $p$ এর মান $\sqrt{2}$ এর যত নিকটবর্তী হয়েছে, $2^p$ এর মান $2^{\sqrt{2}}$ এর তত নিকটবর্তী হয়েছে — ব্যাখ্যা কর।
(4)
গ)
$2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{3-\sqrt{2}}$ এবং $\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$ এর মান নির্ণয় করে এদের অনুপাত বের কর।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর অমূলদ সূচক $x$ এর মূলদ আসন্ন মান $p$ নিয়ে $a^p$ এর মান এমনভাবে নির্দিষ্ট করা হয় যেন $a^p$ এর মান $a^x$ এর মানের আসন্ন হয়।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা, এর দশমিক বিস্তার অসীম। তাই একে সরাসরি সূচক হিসেবে ব্যবহার করে গুণন দ্বারা $2^{\sqrt{2}}$ নির্ণয় করা যায় না। এজন্য $\sqrt{2}$ এর মূলদ আসন্ন মান $1.4,\ 1.41,\ 1.414$ নেওয়া হয়েছে, যাদের ক্ষেত্রে $2^p$ মূলদ সূচকের সংজ্ঞা দ্বারা নির্ধারিত। $p$ এর মান যত বেশি দশমিক স্থান পর্যন্ত $\sqrt{2}$ এর সমান হয়, $2^p$ এর মানও তত বেশি দশমিক স্থান পর্যন্ত $2^{\sqrt{2}}$ এর সমান হয়। সারণিতে $2.6390 < 2.6574 < 2.6648$ ক্রমে মান বাড়ছে এবং $2.6651\cdots$ এর কাছাকাছি আসছে।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর সূচকের মৌলিক সূত্র $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$ অনুযায়ী $2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{3-\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} + 3 - \sqrt{2}} = 2^3 = 8$ । আবার $(a^r)^s = a^{rs}$ অনুযায়ী $\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = 2^2 = 4$ । সুতরাং অনুপাত $= 8 : 4 = 2 : 1$ অর্থাৎ প্রথম রাশিটি দ্বিতীয়টির 2 গুণ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা