উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো শীর্ষ থেকে $2 : 1$ অনুপাতে বিভক্ত হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজের লম্ববিন্দু থেকে শীর্ষের দূরত্ব ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর উপর পরিকেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব দূরত্বের দ্বিগুণ। এখানে $A$ শীর্ষের বিপরীত বাহু $BC$ এবং পরিকেন্দ্র $S$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব দূরত্ব $SP$ (যেহেতু $P$ মধ্যবিন্দু ও $S$ পরিকেন্দ্র, $SP \perp BC$)। তাই $OA = 2SP$।
   এখানে $OA = 14$ সে.মি. হওয়ায় $SP = \dfrac{14}{2} = 7$ সে.মি.।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\triangle AGO$ ও $\triangle PGS$ এ $\angle AGO = \angle PGS$ [বিপ্রতীপ কোণ] এবং $AO \parallel SP$ (উভয়ই $BC$ এর উপর লম্ব) বলে $\angle OAG = \angle SPG$ [একান্তর কোণ]। অতএব ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী।
   $\therefore \dfrac{AG}{GP} = \dfrac{OG}{GS} = \dfrac{OA}{SP} = \dfrac{14}{7} = 2$
   অর্থাৎ $AG : GP = 2 : 1$ এবং $OG : GS = 2 : 1$।
   $AP = 18$ সে.মি. হওয়ায় $AG = \dfrac{2}{3} \times 18 = 12$ সে.মি. এবং $GP = \dfrac{1}{3} \times 18 = 6$ সে.মি.।
   $OS = 15$ সে.মি. হওয়ায় $OG = \dfrac{2}{3} \times 15 = 10$ সে.মি. এবং $SG = \dfrac{1}{3} \times 15 = 5$ সে.মি.।
   $\therefore AG = 12$ সে.মি., $GP = 6$ সে.মি., $SG = 5$ সে.মি., $GO = 10$ সে.মি.।