উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f:A\to A$ ফাংশনে $A$ এর প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি ঐ উপাদানই হলে, অর্থাৎ সকল $x\in A$ এর জন্য $f(x)=x$ হলে, $f$ কে অভেদ ফাংশন বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x-10)=1.05(x-10)=1.05x-10.5$।
   $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(1.05x)=1.05x-10$।
   যেহেতু $1.05x-10.5\neq 1.05x-10$, তাই $g\circ f\neq f\circ g$।
   ছাড় আগে দিলে ($g\circ f$) মূল্য $1.05x-10.5$, যা $1.05x-10$ এর চেয়ে ০.৫ টাকা কম। অতএব ছাড় আগে দিয়ে পরে ভ্যাট যোগ করাই ক্রেতার জন্য সুবিধাজনক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $y=(g\circ f)(x)=1.05x-10.5$। তাহলে $x=\dfrac{y+10.5}{1.05}=\dfrac{y}{1.05}+10$।
   অতএব $(g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{x}{1.05}+10$।
   $x=168$ বসিয়ে পাই, মূল দাম $=\dfrac{168}{1.05}+10=160+10=170$ টাকা।
   যাচাই: $f(x)=x-10$ হলে $f^{-1}(x)=x+10$ এবং $g(x)=1.05x$ হলে $g^{-1}(x)=\dfrac{x}{1.05}$।
   $(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=f^{-1}\left(\dfrac{x}{1.05}\right)=\dfrac{x}{1.05}+10$, যা $(g\circ f)^{-1}(x)$ এর সমান। অর্থাৎ $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ সত্য।
   সরাসরি যাচাই: $1.05\times170-10.5=178.5-10.5=168$ ✓। বইটির মূল দাম ১৭০ টাকা।