গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সম্পর্কটি হলো: $\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর উদ্দীপকের জোটে $a_1 = 2,\ b_1 = 5$ এবং $a_2 = 3,\ b_2 = -2$। $x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{2}{3}$ এবং $y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{5}{-2}$। এখানে $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{-2}$। সহগের অনুপাত সমান না হওয়ায় একটি সমীকরণকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না, তাই সমীকরণ দুইটি পরস্পর অনির্ভরশীল। এ ক্ষেত্রে জোটটির একটিমাত্র অনন্য সমাধান থাকে, তাই জোটটি সমঞ্জস্য।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সমীকরণদ্বয়ের ডানপক্ষ শূন্য করে পাই,
   $2x + 5y - 23 = 0$
   $3x - 2y - 6 = 0$

   এখানে $a_1 = 2,\ b_1 = 5,\ c_1 = -23$ এবং $a_2 = 3,\ b_2 = -2,\ c_2 = -6$।

   আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,
   $\dfrac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \dfrac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \dfrac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

   বা, $\dfrac{x}{5 \times (-6) - (-2) \times (-23)} = \dfrac{y}{(-23) \times 3 - (-6) \times 2} = \dfrac{1}{2 \times (-2) - 3 \times 5}$

   বা, $\dfrac{x}{-30 - 46} = \dfrac{y}{-69 + 12} = \dfrac{1}{-4 - 15}$

   বা, $\dfrac{x}{-76} = \dfrac{y}{-57} = \dfrac{1}{-19}$

   অতএব $x = \dfrac{-76}{-19} = 4$ এবং $y = \dfrac{-57}{-19} = 3$।

   $\therefore$ সমাধান $(x, y) = (4, 3)$।

   যাচাই: ১ম সমীকরণে বামপক্ষ $= 2 \times 4 + 5 \times 3 = 8 + 15 = 23 =$ ডানপক্ষ।
   ২য় সমীকরণে বামপক্ষ $= 3 \times 4 - 2 \times 3 = 12 - 6 = 6 =$ ডানপক্ষ।
   সুতরাং সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।