উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $x$ পূর্ণসংখ্যা এবং $3\le x^2\le 30$। পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলোর মধ্যে $x^2=4,9,16,25$ এই শর্ত পূরণ করে। সুতরাং $x=\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5$। অতএব $A=\{-5,-4,-3,-2,2,3,4,5\}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $B$ এর সাধারণ পদ $\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}$। যেহেতু $n\in\mathbb{N}$, তাই $\frac{1}{n+1}>0$ এবং ফলে প্রতিটি পদ $<2$; অতএব 2 একটি ঊর্ধ্বসীমা। যেকোনো $\varepsilon>0$ এর জন্য $n+1>\frac{1}{\varepsilon}$ হলে $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$ হয়, অর্থাৎ $2-\varepsilon$ এর চেয়ে বড় পদ $B$ তে আছে। তাই 2 এর চেয়ে ছোট কোনো সংখ্যা ঊর্ধ্বসীমা নয়, ফলে 2 ই লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্বসীমা, অর্থাৎ $\sup B=2$। কিন্তু $2-\frac{1}{n+1}=2$ হলে $\frac{1}{n+1}=0$ হতে হয়, যা কোনো $n$ এর জন্য সম্ভব নয়। তাই $2\notin B$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (i) $A=\{-5,-4,-3,-2,2,3,4,5\}$ এর ক্ষুদ্রতম সদস্য $-5$ এবং বৃহত্তম সদস্য $5$। সসীম সেটের ক্ষেত্রে এগুলোই যথাক্রমে নিম্ন ও ঊর্ধ্বসীমা। তাই $\inf A=-5$ এবং $\sup A=5$।

   (ii) $B$ এর পদ $2-\frac{1}{n+1}$; $n$ বাড়লে $\frac{1}{n+1}$ কমে, ফলে পদগুলো ক্রমবর্ধমান। ক্ষুদ্রতম পদ $n=1$ এ: $\frac{2\cdot 1+1}{1+1}=\frac{3}{2}$। সব পদ $\ge\frac{3}{2}$ এবং $\frac{3}{2}\in B$, তাই $\inf B=\frac{3}{2}$। (আগের অংশ অনুযায়ী $\sup B=2$)।

   (iii) $A\cup B$ এ $B$ এর সব সদস্য $\frac{3}{2}\le b<2$, যা $-5$ ও $5$ এর মধ্যে অবস্থিত। তাই $A\cup B$ এর ক্ষুদ্রতম সদস্য $-5$ এবং বৃহত্তম সদস্য $5$। অতএব $\inf(A\cup B)=-5$ এবং $\sup(A\cup B)=5$।