উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর এখানে $AB^2 = 9^2 = 81$, $AC^2 = 12^2 = 144$ এবং $BC^2 = 15^2 = 225$। এখন $AB^2 + AC^2 = 81 + 144 = 225 = BC^2$। অর্থাৎ $BC$ বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহু $AB$ ও $AC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে $AB$ ও $AC$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle BAC$ একটি সমকোণ। সুতরাং ত্রিভুজটির $A$ কোণটি সমকোণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর খ-অংশ থেকে $\angle BAC = 90^\circ$। তাই $AB$ ও $AC$ কে ভূমি ও উচ্চতা ধরে ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ বর্গ মিটার।

   ধরি, $A$ থেকে $BC$ এর উপর অঙ্কিত লম্ব $AD = h$ মিটার। $BC$ কে ভূমি ধরলে ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 15 \times h$।

   সুতরাং $\frac{1}{2} \times 15 \times h = 54$ বা $h = \frac{108}{15} = 7.2$।

   অতএব জমির ক্ষেত্রফল $54$ বর্গ মিটার এবং সেচনালার দৈর্ঘ্য $7.2$ মিটার।