উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর হরে $(x-1)$ এর পুনরাবৃত্তি থাকায় ধরতে হবে, $\dfrac{x+2}{(x-1)^2(x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+1}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি, $\dfrac{x+2}{(x-1)^2(x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+1}$।
   উভয়পক্ষকে $(x-1)^2(x+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $x+2\equiv A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1)^2$ ...... (1)
   (1) এ $x=1$ বসিয়ে পাই, $3=B\times 2$ বা, $B=\dfrac{3}{2}$।
   (1) এ $x=-1$ বসিয়ে পাই, $1=C\times 4$ বা, $C=\dfrac{1}{4}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (1) নং অভেদে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই, $0=A+C$ বা, $A=-C=-\dfrac{1}{4}$।
   অতএব, $\dfrac{x+2}{(x-1)^2(x+1)}\equiv-\dfrac{1}{4(x-1)}+\dfrac{3}{2(x-1)^2}+\dfrac{1}{4(x+1)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
   যাচাই: $x=0$ হলে বামপক্ষ $=\dfrac{2}{(-1)^2(1)}=2$।
   ডানপক্ষ $=-\dfrac{1}{4(-1)}+\dfrac{3}{2(1)}+\dfrac{1}{4(1)}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}=2$।
   বামপক্ষ = ডানপক্ষ, সুতরাং আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ যথাযথ হয়েছে।