উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যদি $P(x)$ ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং $a$ কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে $P(x)$ কে $(x - a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(a)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $P(x)$ কে $(x - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $P(2)$। $P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 - 7(2) + 6 = 16 + 4a - 14 + 6 = 8 + 4a$। শর্তানুসারে $8 + 4a = 12$ বা $4a = 4$, অর্থাৎ $a = 1$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(x - 1)$ উৎপাদক হলে উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $Q(1) = 0$, অর্থাৎ $1 + p + q - 6 = 0$ বা $p + q = 5 \dots (1)$। $(x + 2)$ উৎপাদক হলে $Q(-2) = 0$, অর্থাৎ $-8 + 4p - 2q - 6 = 0$ বা $2p - q = 7 \dots (2)$। (1) ও (2) যোগ করে $3p = 12$ বা $p = 4$; (1) থেকে $q = 1$। সুতরাং $Q(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$। যেহেতু $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$ উৎপাদক এবং $Q(x)$ এর মাত্রা $3$, তৃতীয় উৎপাদক $(x + k)$ আকারের হবে; ধ্রুবপদ তুলনা করে $(-2)\cdot k = -6$ বা $k = 3$। যাচাই: $(x^2 + x - 2)(x + 3) = x^3 + 4x^2 + x - 6$। অতএব $p = 4$, $q = 1$ এবং $Q(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)$।