উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বাস্তব সংখ্যা $x$ এর পরমমান $|x|$ হলো: $|x| = x$ যখন $x > 0$; $|x| = -x$ যখন $x < 0$; এবং $|x| = 0$ যখন $x = 0$। এটি সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে $x$ এর দূরত্ব।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\left|\frac{a}{b}\right| = \left|a \cdot \frac{1}{b}\right| = |a| \left|\frac{1}{b}\right|$ [$|ab| = |a||b|$ হতে]
   আবার $b \cdot \frac{1}{b} = 1$ বলে $|b| \left|\frac{1}{b}\right| = 1$, অর্থাৎ $\left|\frac{1}{b}\right| = \frac{1}{|b|}$ (কারণ $b \neq 0$)।
   সুতরাং $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$। (প্রমাণিত)
   যাচাই: $a = -6$, $b = 4$ হলে $\left|\frac{-6}{4}\right| = \frac{3}{2}$ এবং $\frac{|-6|}{|4|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$। উভয় পক্ষ সমান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যাচাই: $a = -6$, $b = 4$ হলে $|a + b| = |-6 + 4| = |-2| = 2$ এবং $|a| + |b| = 6 + 4 = 10$। যেহেতু $2 \le 10$, তাই দাবিটি সত্য।
   প্রমাণ: আমরা জানি $|a|^2 = a^2$, $|b|^2 = b^2$ এবং $|ab| \ge ab$।
   $(|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab| + b^2$
   $\ge a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = |a + b|^2$
   অর্থাৎ $(|a| + |b|)^2 \ge |a + b|^2$। উভয় পক্ষই অঋণাত্মক বলে বর্গমূল নিয়ে পাই, $|a| + |b| \ge |a + b|$।
   সুতরাং $|a + b| \le |a| + |b|$। (প্রমাণিত)