উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যখন কতগুলো রাশি একটি বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের ও পরের রাশির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়, তখন এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $v_n = 1-(-1)^n$ হতে, $v_1 = 1-(-1) = 2$, $v_2 = 1-1 = 0$, $v_3 = 2$, $v_4 = 0$, $v_5 = 2$, $v_6 = 0$। অর্থাৎ প্রথম ৬টি পদ: $2, 0, 2, 0, 2, 0$। $n$ জোড় হলে $(-1)^n = 1$, তাই $v_n = 0$; $n$ বিজোড় হলে $(-1)^n = -1$, তাই $v_n = 2$। সুতরাং ১২তম পদ $v_{12} = 1-(-1)^{12} = 1-1 = \mathbf{0}$ এবং ১৫তম পদ $v_{15} = 1-(-1)^{15} = 1+1 = \mathbf{2}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $u_n = \dfrac{n}{2n-1}$ হতে $u_1 = 1$, $u_2 = \dfrac{2}{3}$, $u_3 = \dfrac{3}{5}$, $u_4 = \dfrac{4}{7}$। অর্থাৎ পদগুলো $1, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{7}, \dots$। এখন $u_n - \dfrac{1}{2} = \dfrac{n}{2n-1} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2n-(2n-1)}{2(2n-1)} = \dfrac{1}{2(2n-1)}$। $n$ এর মান যত বাড়ে $2(2n-1)$ ততই বড় হয়, ফলে $\dfrac{1}{2(2n-1)}$ ক্রমশ $0$ এর কাছাকাছি হয়। অতএব $u_n$ এর প্রান্তীয় মান $\dfrac{1}{2}$। শর্তমতে, $\dfrac{1}{2(2n-1)} < \dfrac{1}{1000}$ বা $2(2n-1) > 1000$ বা $2n-1 > 500$ বা $n > 250.5$। $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা হওয়ায় ক্ষুদ্রতম মান $n = \mathbf{251}$। যাচাই: $n=251$ হলে $\dfrac{1}{2 \times 501} = \dfrac{1}{1002} < \dfrac{1}{1000}$; $n=250$ হলে $\dfrac{1}{998} > \dfrac{1}{1000}$।