উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দ্বিপদী রাশির বিস্তৃতিতে সহগগুলোকে সারিতে সাজালে যে ত্রিভুজাকার বিন্যাস পাওয়া যায়, তাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলে। এর দুই পাশে সবসময় $1$ থাকে এবং মাঝের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক উপরের দুটি সংখ্যার যোগফল।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্যাসকেলের ত্রিভুজে বাম ও ডান প্রান্তের সংখ্যা সবসময় $1$ এবং মাঝের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক উপরের দুটি সংখ্যার যোগফল। $n=5$ সারি: $1, 5, 10, 10, 5, 1$। তাই $n=6$ সারির সংখ্যাগুলো হবে $1,\ 1+5=6,\ 5+10=15,\ 10+10=20,\ 10+5=15,\ 5+1=6,\ 1$। সুতরাং $(1+y)^6 = 1 + 6y + 15y^2 + 20y^3 + 15y^4 + 6y^5 + y^6$। এখানে পদসংখ্যা $6+1=7$টি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $n=5$ এর সহগ: $1, 5, 10, 10, 5, 1$। $(1+y)^5$ এ $y=2x$ বসিয়ে পাই, $(1+2x)^5 = 1 + 5(2x) + 10(2x)^2 + 10(2x)^3 + 5(2x)^4 + (2x)^5 = 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5$। এখন $(1+x)(1+2x)^5$ এ $x^3$ পাওয়া যায় দুভাবে: (i) $1 \times 80x^3 = 80x^3$ এবং (ii) $x \times 40x^2 = 40x^3$। অতএব $x^3$ এর সহগ $= 80 + 40 = \mathbf{120}$।