উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেহেতু $e^0 = 1$, তাই $\ln 1 = 0$। অতএব $y = \ln x$ এর লেখচিত্র $(1, 0)$ বিন্দু দিয়ে যায়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $x - 2 = 0$ অর্থাৎ $x = 2$ হলে $f(x)$ অসংজ্ঞায়িত হয়। অতএব ডোমেন $= R - \{2\}$। বিপরীত ফাংশন: ধরি $y = \dfrac{x+1}{x-2}$, বা, $xy - 2y = x + 1$, বা, $xy - x = 2y + 1$, বা, $x(y-1) = 2y+1$, বা, $x = \dfrac{2y+1}{y-1}$। চলক পরিবর্তন করে $f^{-1}(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $g(x) = \ln \dfrac{x+1}{x-2}$ বাস্তব মানবিশিষ্ট হবে যদি $\dfrac{x+1}{x-2} > 0$ হয়। এটি সত্য হবে যদি (i) $x+1 > 0$ এবং $x-2 > 0$, অর্থাৎ $x > -1$ ও $x > 2$, ফলে $x > 2$; অথবা (ii) $x+1 < 0$ এবং $x-2 < 0$, অর্থাৎ $x < -1$ ও $x < 2$, ফলে $x < -1$। সুতরাং $g(x)$ এর ডোমেন $= \{x \in R : x < -1 \text{ অথবা } x > 2\} = (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$।