উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দুটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সমান, ধারক অভিন্ন বা সমান্তরাল এবং দিক একই মুখী হলে ভেক্টর দুটিকে সমান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বিনিময়বিধি অনুযায়ী যেকোনো $\underline{u}$, $\underline{v}$ ভেক্টরের জন্য $\underline{u}+\underline{v}=\underline{v}+\underline{u}$।

   ব্যাখ্যা: মনে করি $\vec{OA}=\underline{u}$ এবং $\vec{OB}=\underline{v}$। $OACB$ সামান্তরিক এবং কর্ণ $OC$ আঁকি। $OB$ ও $AC$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $\vec{AC}=\underline{v}$। ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AC}=\underline{u}+\underline{v}$। আবার $OA$ ও $BC$ সমান ও সমান্তরাল, তাই $\vec{BC}=\underline{u}$ এবং $\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{BC}=\underline{v}+\underline{u}$। সুতরাং $\underline{u}+\underline{v}=\underline{v}+\underline{u}$। অর্থাৎ ভেক্টর যোগ বিনিময়বিধি মেনে চলে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ABCD সামান্তরিক বলে $\vec{DC}=\vec{AB}=\underline{a}$ এবং $\vec{BC}=\vec{AD}=\underline{b}$।

   $\vec{AC}$: সামান্তরিক বিধি বা ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\underline{a}+\underline{b}$।

   $\vec{BD}$: $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=-\underline{a}+\underline{b}=\underline{b}-\underline{a}$।

   $\vec{AM}$: $M$, $CD$ এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় $\vec{DM}=\frac{1}{2}\vec{DC}=\frac{1}{2}\underline{a}$। তাই $\vec{AM}=\vec{AD}+\vec{DM}=\underline{b}+\frac{1}{2}\underline{a}$।

   উত্তর: $\vec{AC}=\underline{a}+\underline{b}$, $\vec{BD}=\underline{b}-\underline{a}$, $\vec{AM}=\underline{b}+\frac{1}{2}\underline{a}$।