উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর একাধিক চলকবিশিষ্ট কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুটি চলক স্থান বিনিময় করলে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে রাশিটিকে ঐ চলকসমূহের প্রতিসম রাশি বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P$ এ $a$ এর স্থলে $b$, $b$ এর স্থলে $c$ এবং $c$ এর স্থলে $a$ বসালে পাই $b^2(c - a) + c^2(a - b) + a^2(b - c)$, যা $P$ এর সমান। তাই $P$ চক্রক্রমিক। আবার $a$ ও $b$ স্থান বিনিময় করলে পাই $b^2(a - c) + a^2(c - b) + c^2(b - a) = -\{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)\} = -P$, যা $P$ থেকে ভিন্ন। কাজেই যেকোনো দুটি চলকের স্থান বিনিময়ে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে না; তাই $P$ প্রতিসম নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P$ একটি তিন মাত্রার সমমাত্রিক চক্রক্রমিক রাশি। $a = b$ বসালে $P = a^2(a - c) + a^2(c - a) + c^2\cdot 0 = 0$; তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $(a - b)$ একটি উৎপাদক। $P$ চক্রক্রমিক বলে $(b - c)$ ও $(c - a)$ ও উৎপাদক হবে। $P$ এর মাত্রা $3$, তাই $P = k(a - b)(b - c)(c - a)$, যেখানে $k$ ধ্রুবক। $(a - b)(b - c)(c - a)$ প্রসারণ করলে $a^2b$ এর সহগ $-1$, আর $P$ তে $a^2b$ এর সহগ $1$। সুতরাং $k = -1$। অতএব $P = -(a - b)(b - c)(c - a)$। যাচাই: $a = 0, b = 1, c = 2$ এর জন্য $P = 0 + 1\cdot 2 + 4\cdot(-1) = -2$ এবং $-(-1)(-1)(2) = -2$।