উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেকোনো $\underline{u}$, $\underline{v}$, $\underline{w}$ ভেক্টরের জন্য $(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w}=\underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $ABC$ একটি ত্রিভুজ। তিন বাহুকে একই ক্রমে নিলে ভেক্টরত্রয় হয় $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ ও $\vec{CA}$। ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$। সুতরাং $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}+\vec{CA}$। এখানে $\vec{CA}=-\vec{AC}$ হওয়ায় $\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{AA}$, আদি ও অন্তবিন্দু একই বলে এটি শূন্য ভেক্টর। তাই তিন বাহুর একই ক্রমের ভেক্টরের যোগফল শূন্য ভেক্টর।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজবিধি দুইবার প্রয়োগ করে পাই, $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\underline{u}+\underline{v}$। আবার $\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{CD}=(\underline{u}+\underline{v})+\underline{w}$। সংযোগবিধি অনুযায়ী এটি $\underline{u}+(\underline{v}+\underline{w})$ এর সমান। সুতরাং $\vec{AD}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$।

   এখন $\underline{w}=-\underline{u}$ হলে $\vec{AD}=\underline{u}+\underline{v}-\underline{u}=\underline{v}$ (বর্জনবিধি/অভেদ অনুযায়ী $\underline{u}-\underline{u}=\underline{0}$)। অর্থাৎ $\vec{AD}=\vec{BC}$, ফলে $AD$ ও $BC$ সমান ও সমান্তরাল এবং একই মুখী।

   আবার $\vec{CD}=-\underline{u}=-\vec{AB}$, তাই $\vec{DC}=-\vec{CD}=\underline{u}=\vec{AB}$। অর্থাৎ $AB$ ও $DC$ সমান ও সমান্তরাল।

   চতুর্ভুজ $ABCD$ এর বিপরীত বাহুজোড়া $AB, DC$ এবং $AD, BC$ উভয়ই সমান ও সমান্তরাল। সুতরাং $ABCD$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)