উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দুটি ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন অথবা সমান্তরাল হলে এবং তাদের দিক একই হলে ভেক্টর দুটিকে সদৃশ ভেক্টর বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরপর যোগ করলে ত্রিভুজবিধি অনুসারে $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ এবং $\vec{CD} + \vec{DA} = \vec{CA}$ পাওয়া যায়। তাহলে $\underline{a} + \underline{b} + \underline{c} + \underline{d} = \vec{AC} + \vec{CA}$। কিন্তু $\vec{CA} = -\vec{AC}$ অর্থাৎ $\vec{AC}$ ও $\vec{CA}$ পরস্পর বিপরীত ভেক্টর। বিপরীত ভেক্টরদ্বয়ের যোগফল শূন্য ভেক্টর। তাই $\underline{a} + \underline{b} + \underline{c} + \underline{d} = \underline{0}$। কারণ বহুভুজের বাহুগুলো এক বিন্দু থেকে শুরু করে ঘুরে সেই বিন্দুতেই ফিরে আসে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P$ ও $Q$ যথাক্রমে $AB$ ও $BC$ এর মধ্যবিন্দু, তাই
   $\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{BC} = \dfrac{1}{2}(\underline{a} + \underline{b})$।
   একইভাবে $\vec{RS} = \vec{RD} + \vec{DS} = \dfrac{1}{2}\vec{CD} + \dfrac{1}{2}\vec{DA} = \dfrac{1}{2}(\underline{c} + \underline{d})$।
   খ অংশ থেকে $\underline{a} + \underline{b} = -(\underline{c} + \underline{d})$।
   অতএব $\vec{PQ} = \dfrac{1}{2}(\underline{a} + \underline{b}) = -\dfrac{1}{2}(\underline{c} + \underline{d}) = -\vec{RS} = \vec{SR}$।
   সুতরাং $PQ$ ও $SR$ সমান ও সমান্তরাল।
   অনুরূপভাবে $\vec{QR} = \dfrac{1}{2}(\underline{b} + \underline{c})$ এবং $\vec{SP} = \dfrac{1}{2}(\underline{d} + \underline{a})$ এবং $\underline{b} + \underline{c} = -(\underline{d} + \underline{a})$ বলে $\vec{QR} = -\vec{SP} = \vec{PS}$। তাই $QR$ ও $PS$ সমান ও সমান্তরাল।
   বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হওয়ায় $PQRS$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)