উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই বিন্দুকে ত্রিভুজের লম্ববিন্দু বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\angle PQR = 90^\circ$ বলে $\angle PQF + \angle FQR = 90^\circ$। আবার $\triangle PQF$ এ $\angle PFQ = 90^\circ$ বলে $\angle PQF + \angle QPF = 90^\circ$। অতএব $\angle FQR = \angle QPF$।
   $\triangle PQF$ ও $\triangle QFR$ এ $\angle PFQ = \angle QFR = 90^\circ$ এবং $\angle QPF = \angle FQR$। সুতরাং অবশিষ্ট $\angle PQF = \angle FRQ$। তাই ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী।
   অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক, তাই $\dfrac{QF}{RF} = \dfrac{PF}{QF}$ বা, $QF^2 = PF \cdot RF$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $QF^2 = PF \cdot RF = 4 \times 9 = 36$, $\therefore QF = 6$ মিটার।
   $PR = PF + RF = 4 + 9 = 13$ মিটার।
   $\triangle PQF$ এ $PQ^2 = PF^2 + QF^2 = 16 + 36 = 52$।
   $\triangle QFR$ এ $QR^2 = QF^2 + RF^2 = 36 + 81 = 117$।
   $E$, $QR$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $QE = \dfrac{QR}{2}$ এবং $QE^2 = \dfrac{117}{4}$।
   $\triangle PQE$ এ $\angle PQE = 90^\circ$, $PE^2 = PQ^2 + QE^2 = 52 + \dfrac{117}{4} = \dfrac{208 + 117}{4} = \dfrac{325}{4}$
   $\therefore PE = \dfrac{\sqrt{325}}{2} = \dfrac{5\sqrt{13}}{2} \approx 9.01$ মিটার।
   $\therefore QF = 6$ মিটার এবং $PE = \dfrac{5\sqrt{13}}{2} \approx 9.01$ মিটার।