উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি সাধারণ অনুপাত $r$। $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ হতে $12 = \dfrac{9}{1-r}$ বা $1 - r = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ বা $r = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$। নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত $\dfrac{1}{4}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধারাটির প্রথম পদ $a = 9$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{1}{4}$। পঞ্চম পদ $= ar^{4} = 9 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^4 = \dfrac{9}{256}$। প্রথম ৪টি পদের সমষ্টি $S_4 = \dfrac{a(1-r^4)}{1-r} = \dfrac{9\left(1-\frac{1}{256}\right)}{\frac{3}{4}} = 12 \times \dfrac{255}{256} = \dfrac{3060}{256} = \mathbf{\dfrac{765}{64}}$। সুতরাং পঞ্চম পদ $\dfrac{9}{256}$ এবং $S_4 = \dfrac{765}{64}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মূল ধারাটি $9 + \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{16} + \dots$। প্রতিটি পদের বর্গ নিলে নতুন ধারা হয় $81 + \dfrac{81}{16} + \dfrac{81}{256} + \dots$। এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $A = 81$ এবং সাধারণ অনুপাত $R = \dfrac{81/16}{81} = \dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2$। যেহেতু $|R| = \dfrac{1}{16} < 1$, তাই নতুন ধারাটির অসীমতক সমষ্টি আছে। সমষ্টি $= \dfrac{A}{1-R} = \dfrac{81}{1-\frac{1}{16}} = \dfrac{81}{\frac{15}{16}} = \dfrac{81 \times 16}{15} = \dfrac{432}{5} = \mathbf{86.4}$।