উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(a+x)^n$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ বা $(r+1)$-তম পদ $T_{r+1} = {}^nC_r\, a^{n-r} x^r$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দ্বিপদী রাশির ঘাত $n=9$, যা বিজোড়। তাই বিস্তৃতির মোট পদসংখ্যা $n+1 = 10$, যা জোড় সংখ্যা। জোড়সংখ্যক পদের ক্ষেত্রে মধ্যপদের দুই পাশে সমান সংখ্যক পদ রাখতে হলে মধ্যপদ দুইটি হয়। এগুলো $\frac{9+1}{2} = 5$ তম এবং $\frac{9+3}{2} = 6$ ষ্ঠ পদ।
   সাধারণ পদ: $T_{r+1} = {}^9C_r (x^2)^{9-r}\left(\frac{2}{x}\right)^r = {}^9C_r\, 2^r\, x^{18-3r}$।
   ৫ম পদের জন্য $r=4$: $T_5 = {}^9C_4\cdot 2^4 x^{6} = 126\times 16\, x^6 = 2016x^6$।
   ৬ষ্ঠ পদের জন্য $r=5$: $T_6 = {}^9C_5\cdot 2^5 x^{3} = 126\times 32\, x^3 = 4032x^3$।
   মধ্যপদ দুইটি $2016x^6$ ও $4032x^3$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x)$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$-তম পদ $T_{r+1} = {}^9C_r\, 2^r\, x^{18-3r}$।
   পদটি $x$-বর্জিত হলে $x$ এর ঘাত শূন্য হবে, অর্থাৎ $18 - 3r = 0$
   বা, $3r = 18$
   $\therefore r = 6$
   সুতরাং $(6+1) = 7$ তম পদটি $x$-বর্জিত।
   পদটির মান $= {}^9C_6\cdot 2^6 = \frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}\times 64 = 84\times 64 = 5376$।
   অতএব, $x$-বর্জিত পদটি ৭ম পদ এবং এর মান $5376$।