উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$ ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান, ধারক রেখা অভিন্ন বা সমান্তরাল এবং দিক পরস্পর বিপরীত হলে একটিকে অপরটির বিপরীত ভেক্টর বলে। $\mathbf{a}$ এর বিপরীত ভেক্টর $-\mathbf{a}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\mathbf{a}-\mathbf{b}=(2-1)\hat{i}+(-1-2)\hat{j}+(1+3)\hat{k}=\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$।
   $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}$।
   এর দিকে একক ভেক্টর $=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}}{|\mathbf{a}-\mathbf{b}|}=\frac{\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}}{\sqrt{26}}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$ অসমান্তরাল। $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ সমতলীয় হলে $\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf{b}$ হবে, যেখানে $m,n$ স্কেলার।
   $3\hat{i}+p\hat{j}+5\hat{k}=m(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+n(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$।
   $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ এর সহগ তুলনা করে পাই: $2m+n=3$ ... (i), $-m+2n=p$ ... (ii), $m-3n=5$ ... (iii)।
   (i) হতে $n=3-2m$; (iii) এ বসিয়ে $m-9+6m=5$ বা $7m=14$, $\therefore m=2$ এবং $n=3-4=-1$।
   (ii) হতে $p=-2+2(-1)=-4$।
   $\therefore p=-4$।
   যাচাই: $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=3\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$, যা $\mathbf{c}$ এর সমান।