উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ $ABCD$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলে $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আয়তক্ষেত্র $PQRS$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত, তাই এটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। আয়তের বিপরীত বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয় সমান, অর্থাৎ $PQ = RS = 6$, $QR = SP = 8$ এবং $PR = QS$।
   টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, $PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot SP$
   বা, $PR^2 = 6 \cdot 6 + 8 \cdot 8 = 36 + 64 = 100$
   $\therefore PR = 10$ মিটার।
   সাধারণভাবে বাহু $a, b$ ও কর্ণ $d$ হলে $d^2 = a^2 + b^2$ পাওয়া যায়, যা সমকোণী ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য। তাই আয়তের ক্ষেত্রে টলেমির উপপাদ্য পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিশেষ রূপ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $ABCD$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে,
   $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$
   বা, $AC \times 23.4 = 7 \times 15 + 24 \times 20$
   বা, $23.4 \, AC = 105 + 480 = 585$
   বা, $AC = \dfrac{585}{23.4} = 25$
   $\therefore$ কর্ণ $AC$ এর দৈর্ঘ্য $25$ মিটার।