উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $P = \left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{3^3}{2^3}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left\{\left(\frac{3}{2}\right)^3\right\}^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3 \times \left(-\frac{2}{3}\right)} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$। নির্ণেয় মান $\frac{4}{9}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $2^x = 3^y = 6^z = k$। যেহেতু $x, y, z \neq 0$, তাই $k > 0$ এবং $k \neq 1$ (কারণ $k = 1$ হলে $x = y = z = 0$ হতো)। তাহলে $2 = k^{\frac{1}{x}}$, $3 = k^{\frac{1}{y}}$ এবং $6 = k^{\frac{1}{z}}$। এখন $6 = 2 \times 3$ বলে $k^{\frac{1}{z}} = k^{\frac{1}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$। ভিত্তি $k > 0$, $k \neq 1$ হওয়ায় সূচক সমান করে পাই $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$। (প্রমাণিত)