উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর কোনো অসীম ধারার $n$ তম আংশিক সমষ্টি হলো ধারাটির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি, অর্থাৎ $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (i) ধারাটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 5$ এবং সাধারণ অন্তর $d = 3$। $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a + (n-1)d\} = \dfrac{n}{2}\{10 + 3(n-1)\} = \dfrac{n(3n+7)}{2}$। $n = 10$ হলে $S_{10} = \dfrac{10 \times 37}{2} = \mathbf{185}$। $n$ এর মান যত বাড়ানো হয়, $S_n$ এর মানও তত বাড়তে থাকে এবং যথেষ্ট বড় করা যায়, যেমন $S_{100} = \dfrac{100 \times 307}{2} = 15350$। $S_n$ এর কোনো নির্দিষ্ট প্রান্তীয় মান পাওয়া যায় না বলে ধারাটির কোনো সমষ্টি নেই।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (ii) ধারাটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = \dfrac{1}{2}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \dfrac{1}{2}$। প্রথম ৫ পদের সমষ্টি $S_5 = \dfrac{a(1-r^5)}{1-r} = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32}$। যেহেতু $|r| < 1$, অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$। সুতরাং পার্থক্য $= S_\infty - S_5 = 1 - \dfrac{31}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{32}}$। অর্থাৎ $S_5$, অসীমতক সমষ্টি অপেক্ষা $\dfrac{1}{32}$ কম।