উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A$ সেট থেকে $B$ সেটে $R$ একটি অন্বয় হলে $B$ সেট থেকে $A$ সেটে যে অন্বয়টি $R^{-1}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত, তাকে $R$ এর বিপরীত অন্বয় বলে। অর্থাৎ $R$ এর প্রতিটি ক্রমজোড়ের উপাদান দুইটির স্থান বিনিময় করে $R^{-1}$ পাওয়া যায়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $y=2x$ হলে $R=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\}$। এখানে $A$ এর প্রত্যেক উপাদানের $B$ সেটে ঠিক একটি প্রতিচ্ছবি আছে এবং কোনো উপাদানের একাধিক প্রতিচ্ছবি নেই। তাই $R$ একটি ফাংশন।
   ফাংশনটির রেঞ্জ $=\{2,4,6,8\}$, কিন্তু কোডোমেন $B=\{2,4,6,8,10\}$। $10\in B$ এর সাথে $A$ এর কোনো উপাদান সম্পর্কিত নয়। রেঞ্জ ও কোডোমেন সমান নয় বলে ফাংশনটি সার্বিক নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $R=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\}$ হলে প্রতিটি ক্রমজোড়ের স্থান বিনিময় করে $R^{-1}=\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}$।
   $R$ এর ডোমেন $D_R=\{1,2,3,4\}$, রেঞ্জ $R_R=\{2,4,6,8\}$।
   $R^{-1}$ এর ডোমেন $D_{R^{-1}}=\{2,4,6,8\}$, রেঞ্জ $R_{R^{-1}}=\{1,2,3,4\}$।
   সুতরাং $D_R=R_{R^{-1}}$ এবং $R_R=D_{R^{-1}}$, অর্থাৎ অন্বয়ের ডোমেন ও রেঞ্জ যথাক্রমে তার বিপরীত অন্বয়ের রেঞ্জ ও ডোমেনের সমান।
   $R^{-1}$ কে $B$ থেকে $A$ সেটে ফাংশন ধরলে $B$ এর প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি থাকতে হবে। কিন্তু $10\in B$ এর কোনো প্রতিচ্ছবি $R^{-1}$ এ নেই। তাই $R^{-1}$ কে $B$ থেকে $A$ সেটে ফাংশন বলা যায় না।