উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর উপাত্তকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে তৃতীয় চতুর্থক ($Q_3$) ও প্রথম চতুর্থক ($Q_1$)-এর বিয়োগফলকে আন্তঃচতুর্থক পরিসর বলে, অর্থাৎ $IQR = Q_3 - Q_1$। এটি সমগ্র উপাত্ত বণ্টনের মধ্যবর্তী 50% অংশের বিস্তার নির্দেশ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর উপাত্তগুলোকে ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই: 12, 14, 15, 16, 18, 18, 20, 22, 24, 25, 28, 28। এখানে $n = 12$।

   প্রথম চতুর্থক: $\frac{n}{4} = \frac{12}{4} = 3$, যা পূর্ণ সংখ্যা। তাই $Q_1$ = ৩য় ও ৪র্থ উপাত্তের গাণিতিক গড় $= \frac{15 + 16}{2} = 15.5$।

   তৃতীয় চতুর্থক: $\frac{n}{4} \times 3 = 9$, যা পূর্ণ সংখ্যা। তাই $Q_3$ = ৯ম ও ১০ম উপাত্তের গাণিতিক গড় $= \frac{24 + 25}{2} = 24.5$।

   আন্তঃচতুর্থক পরিসর $= Q_3 - Q_1 = 24.5 - 15.5 = 9$।

   চতুর্থক ব্যবধান $= \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$।

   চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক $= \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1} \times 100 = \frac{9}{24.5 + 15.5} \times 100 = \frac{9}{40} \times 100 = 22.5\%$।

   অতএব, চতুর্থক ব্যবধান 4.5 হাজার টাকা এবং চতুর্থক ব্যবধানাঙ্ক $22.5\%$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর উপাত্তগুলোর সমষ্টি $\sum x_i = 12 + 14 + 15 + 16 + 18 + 18 + 20 + 22 + 24 + 25 + 28 + 28 = 240$।

   গাণিতিক গড় $\bar{x} = \frac{240}{12} = 20$।

   প্রতিটি উপাত্তের গড় হতে পরমমান বিচ্যুতি $|x_i - \bar{x}|$:

   $x_i$	12	14	15	16	18	18	20	22	24	25	28	28
   $\|x_i - 20\|$	8	6	5	4	2	2	0	2	4	5	8	8

   $\sum |x_i - \bar{x}| = 8 + 6 + 5 + 4 + 2 + 2 + 0 + 2 + 4 + 5 + 8 + 8 = 54$।

   গড় ব্যবধান $MD(\bar{x}) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{54}{12} = 4.5$।

   গড় ব্যবধানাঙ্ক $= \frac{MD(\bar{x})}{\bar{x}} \times 100 = \frac{4.5}{20} \times 100 = 22.5\%$।

   অতএব, গড় ব্যবধান 4.5 হাজার টাকা এবং গড় ব্যবধানাঙ্ক $22.5\%$।