উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর দুটি সেট $A$ ও $B$ এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল স্থাপন করা যায়, তবে সেট দুটিকে সমতুল সেট বলা হয় এবং একে $A \sim B$ লিখে প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A$ ও $B$ এর মধ্যে নিচের মতো মিল স্থাপন করি:
   $1 \leftrightarrow 5$, $2 \leftrightarrow 10$, $3 \leftrightarrow 15$, $\dots$, $n \leftrightarrow 5n$।
   এই মিলকে $k \leftrightarrow 5k$, $k \in A$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়। এখানে $A$ এর প্রতিটি উপাদানের সাথে $B$ এর কেবল একটি এবং $B$ এর প্রতিটি উপাদানের সাথে $A$ এর কেবল একটি উপাদানের মিল হয়েছে। সুতরাং এটি এক-এক মিল, অর্থাৎ $A \sim B$।
   যেহেতু $A$ সান্ত সেট এবং $A \sim B$, তাই $n(B) = n(A) = n$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আমরা জানি, কোনো সেট অনন্ত হবে যদি ও কেবল যদি সেটটি এর একটি প্রকৃত উপসেটের সমতুল হয়।
   $M = \{5, 10, 15, \dots\}$ সেটের প্রতিটি উপাদান একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই $M \subseteq N$। আবার $1 \in N$ কিন্তু $1 \notin M$, তাই $M \neq N$। অতএব $M$ হলো $N$ এর একটি প্রকৃত উপসেট।
   এখন $N$ ও $M$ এর মধ্যে মিল $n \leftrightarrow 5n$, $n \in N$ স্থাপন করি: $1 \leftrightarrow 5$, $2 \leftrightarrow 10$, $3 \leftrightarrow 15$, $\dots$। এখানে $N$ এর প্রতিটি $n$ এর জন্য $M$ এর কেবল একটি $5n$ পাওয়া যায় এবং $M$ এর প্রতিটি $5n$ এর জন্য $N$ এর কেবল একটি $n$ পাওয়া যায়। সুতরাং এটি এক-এক মিল, অর্থাৎ $N \sim M$।
   অতএব $N$ এর একটি প্রকৃত উপসেট $M$ এর সাথে $N$ সমতুল। সুতরাং $N$ একটি অনন্ত সেট। (প্রমাণিত)