উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$ ভেক্টরদ্বয়ের মান ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\theta$ এর cosine এর গুণফলকে স্কেলার গুণজ বলে। অর্থাৎ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$, যা একটি স্কেলার রাশি।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}$।
   স্কেলার গুণজের বিনিময় সূত্র অনুযায়ী $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$; তাই গুণফল $=|\mathbf{a}|^2-|\mathbf{b}|^2$।
   যেহেতু $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$, তাই গুণফল $=0$। দুইটি অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণজ শূন্য হলে তারা পরস্পর লম্ব। সুতরাং $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ও $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ পরস্পর লম্ব।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\mathbf{F}$ এর $\mathbf{d}$ বরাবর অংশক $=\frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{d}|}$।
   $\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=4\cdot2+(-1)\cdot3+3\cdot1=8-3+3=8$।
   $|\mathbf{d}|=\sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}$।
   $\therefore$ অংশক $=\frac{8}{\sqrt{14}}=\frac{4\sqrt{14}}{7}$ নিউটন (প্রায় $2.14$ নিউটন)।