উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিকোণমিতিতে $\angle XOX$ কোণের পরিমাণ শূন্য ($0$) ধরা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর জ্যামিতিক ধারণায় দুটি ভিন্ন রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে কোণ উৎপন্ন হয় এবং কোণের আলোচনা দুই সরলকোণ ($360^\circ$) পর্যন্ত সীমিত থাকে। আদি অবস্থান $\angle XOX$ কে জ্যামিতিতে কোণই ধরা হয় না। অন্যদিকে ত্রিকোণমিতিতে একটি স্থির রশ্মির সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান রশ্মির ঘূর্ণনের ফলে কোণ উৎপন্ন হয় এবং রশ্মিটি পূর্ণ ঘূর্ণনের পরও ঘুরতে পারে। যেমন, একটি রশ্মি একবার সম্পূর্ণ ঘুরে আরও $30^\circ$ ঘুরলে ত্রিকোণমিতিক কোণ হয় $390^\circ$, যা জ্যামিতিতে ধারণা করা যায় না। এছাড়া ত্রিকোণমিতিতে ঘূর্ণনের দিক অনুযায়ী কোণ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর পাখা প্রতি সেকেন্ডে $1$ পূর্ণ ঘূর্ণন করে, তাই $2.25$ সেকেন্ডে ঘুরেছে $2.25$ বার। ঘূর্ণন ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে হওয়ায় কোণ ধনাত্মক।
   উৎপন্ন কোণ $= 2.25 \times 360^\circ = 810^\circ$।
   রেডিয়ানে: $810^\circ = 810 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{9\pi}{2}$ রেডিয়ান।
   আবার $810^\circ = 2 \times 360^\circ + 90^\circ$, অর্থাৎ পাখাটি দুইবার সম্পূর্ণ ঘুরে আরও $90^\circ$ ঘুরেছে। তাই প্রান্তিক বাহু $y$-অক্ষের ধনাত্মক অংশ $OY$ এর ওপর থাকে।
   একটি বিন্দু $P(0, y)$ নিলে $x = 0$ এবং $r = y$। তখন $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ এবং $\sec\theta = \dfrac{r}{x}$ এ হর শূন্য হয়, তাই $\tan 810^\circ$ ও $\sec 810^\circ$ সংজ্ঞায়িত নয়। (এ অবস্থানে $\sin 810^\circ = \dfrac{y}{y} = 1$ এবং $\cos 810^\circ = 0$।)
   উত্তর: কোণ $810^\circ$ বা $\dfrac{9\pi}{2}$ রেডিয়ান; $\tan$ ও $\sec$ সংজ্ঞায়িত নয়।