উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $y=\sec x$ ফাংশনের রেঞ্জ $R-(-1,1)$, অর্থাৎ $y\leq -1$ অথবা $y\geq 1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর আমরা জানি $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ এবং সকল $x$ এর জন্য $-1\leq\cos x\leq 1$, অর্থাৎ $|\cos x|\leq 1$। কোসাইনের মান শূন্য না হলে $|\sec x|=\frac{1}{|\cos x|}\geq 1$ হয়। সুতরাং $\sec x\geq 1$ অথবা $\sec x\leq -1$। $\cos x=0$ হলে $\sec x$ অসংজ্ঞায়িত। তাই $\sec x$ এর মান $(-1,1)$ ব্যবধিতে কখনো পড়ে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x)=2\cos x-1$। আমরা জানি $-1\leq\cos x\leq 1$, তাই $-2\leq 2\cos x\leq 2$ এবং $-3\leq 2\cos x-1\leq 1$।

   সর্বোচ্চ মান $=1$ (যখন $\cos x=1$, অর্থাৎ $x=0, 2\pi,\dots$)।
   সর্বনিম্ন মান $=-3$ (যখন $\cos x=-1$, অর্থাৎ $x=\pi, 3\pi,\dots$)।
   রেঞ্জ $=[-3,1]$।
   পর্যায়কাল: $\cos x$ এর পর্যায়কাল $2\pi$ এবং ধ্রুবক গুণিতক ও যোগ-বিয়োগে পর্যায়কাল অপরিবর্তিত থাকে, তাই $f(x)$ এর পর্যায়কাল $2\pi$।

   $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-1=2\times\frac{1}{2}-1=0$।
   $f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\cos\frac{2\pi}{3}-1=2\times\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-2$।