উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর চতুর্থ চতুর্ভাগে কেবল $\cos$ ও $\sec$ অনুপাত দুটি ধনাত্মক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর তৃতীয় চতুর্ভাগে প্রান্তিক রশ্মির ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ এর ভুজ $x$ ও কোটি $y$ উভয়ই ঋণাত্মক, আর $r$ সর্বদা ধনাত্মক। তাই $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ এবং $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ ঋণাত্মক হয়। কিন্তু $\tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-y}{-x}$ এ দুই ঋণাত্মক রাশির ভাগফল ধনাত্মক হয়। একইভাবে $\cot\theta = \dfrac{x}{y}$ ও ধনাত্মক হয়। তাই তৃতীয় চতুর্ভাগে কেবল $\tan$ ও $\cot$ ধনাত্মক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর (i) $200^\circ$ কোণটি $180^\circ$ ও $270^\circ$ এর মধ্যে, তাই তৃতীয় চতুর্ভাগে। এখানে কেবল $\tan$ ও $\cot$ ধনাত্মক, সুতরাং $\sin 200^\circ$ ঋণাত্মক ($-$)।
   (ii) $315^\circ$ কোণটি $270^\circ$ ও $360^\circ$ এর মধ্যে, তাই চতুর্থ চতুর্ভাগে। এখানে $\cos$ ও $\sec$ ধনাত্মক, সুতরাং $\cos 315^\circ$ ধনাত্মক ($+$)।
   (iii) $120^\circ$ কোণটি $90^\circ$ ও $180^\circ$ এর মধ্যে, তাই দ্বিতীয় চতুর্ভাগে। এখানে কেবল $\sin$ ও $\csc$ ধনাত্মক, সুতরাং $\tan 120^\circ$ ঋণাত্মক ($-$)।
   গুণফলের চিহ্ন $= (-) \times (+) \times (-) = (+)$।
   উত্তর: $\sin 200^\circ$ ঋণাত্মক, $\cos 315^\circ$ ধনাত্মক, $\tan 120^\circ$ ঋণাত্মক এবং এদের গুণফল ধনাত্মক।