উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\triangle ABC$ এর $\angle ACB$ স্থূলকোণ এবং $BC$ এর বর্ধিতাংশের উপর $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ হলে, $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর এখানে $AB^2 = 49$, $AC^2 = 16$ এবং $BC^2 = 25$। তাহলে $AC^2 + BC^2 = 16 + 25 = 41$। দেখা যাচ্ছে $AB^2 = 49 > 41 = AC^2 + BC^2$। যদি $\angle ACB$ সমকোণ হতো, তবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে $AB^2 = AC^2 + BC^2$ হতো; আর সূক্ষ্মকোণ হলে (উপপাদ্য ৪) $AB^2 < AC^2 + BC^2$ হতো। কিন্তু এখানে $AB^2 > AC^2 + BC^2$, যা উভয়ের সাথে অসংগতিপূর্ণ। আবার স্থূলকোণের ক্ষেত্রে (উপপাদ্য ৩) $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$ এবং $2 \cdot BC \cdot CD > 0$ বলে $AB^2 > AC^2 + BC^2$ হয়। সুতরাং $\angle ACB$ স্থূলকোণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\angle ACB$ স্থূলকোণ এবং $BC$ এর বর্ধিতাংশের উপর $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$। স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের বিস্তৃতি অনুসারে, $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$।

   মান বসিয়ে পাই, $49 = 16 + 25 + 2 \times 5 \times CD$
   বা, $10 \cdot CD = 8$
   বা, $CD = 0.8$ মিটার।

   আবার সমকোণী $\triangle ADC$ এ $\angle ADC = 90^\circ$, তাই $AD^2 = AC^2 - CD^2 = 16 - 0.64 = 15.36$
   বা, $AD = \sqrt{15.36} \approx 3.92$ মিটার।

   অতএব বেড়ার দৈর্ঘ্য $0.8$ মিটার এবং $AD \approx 3.92$ মিটার।