উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $f(x)=ax^{2}+bx+c$ আকারের ফাংশনকে, যেখানে $a,b,c$ বাস্তব ধ্রুবক এবং $a\neq0$, দ্বিঘাত ফাংশন বলে। এর লেখচিত্র একটি পরাবৃত্ত।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধরি $y=20x-x^{2}$, তাহলে $x^{2}-20x+y=0$।
   $x$ বাস্তব হবে যদি পৃথায়ক $\ge0$ হয়, অর্থাৎ $(-20)^{2}-4\cdot1\cdot y\ge0$।
   বা, $400-4y\ge0$ বা, $y\le100$।
   অতএব ফাংশনটির রেঞ্জ $R_A=\{y\in\mathbb{R}:y\le100\}=(-\infty,100]$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A(x)=91$ হলে $20x-x^{2}=91$ বা, $x^{2}-20x+91=0$ বা, $(x-7)(x-13)=0$, সুতরাং $x=7$ অথবা $x=13$।
   $x=13$ হলে প্রস্থ $=20-13=7$ মিটার; $x=7$ হলে প্রস্থ $=13$ মিটার। দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার ও প্রস্থ ৭ মিটার (যাচাই: $13\times7=91$ ✓)।
   এখানে $a=-1<0$, তাই ফাংশনটির বৃহত্তম মান আছে। $A(x)=-(x-10)^{2}+100$, শীর্ষবিন্দু $(10,100)$।
   বৃহত্তম ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার, যখন $x=10$ মিটার। তখন প্রস্থ $=20-10=10$ মিটার, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান। সুতরাং বাগানটি বর্গাকার হলে ক্ষেত্রফল সর্বাধিক হবে।