উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর শ্রমিকের ঘাটতি, কাঁচামালের অভাব, যন্ত্রের সময়ের সীমা ইত্যাদি সীমাবদ্ধতাকে রৈখিক সমীকরণ বা অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করাকে যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের সীমাবদ্ধতা বা শর্ত বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যোগাশ্রয়ী বা রৈখিক বলতে বোঝায় যে সমস্যার সাথে জড়িত সকল সম্পর্ক রৈখিক হবে, অর্থাৎ অভীষ্ট ফাংশন ও সীমাবদ্ধতাগুলো চলকের একঘাত সমীকরণ বা অসমতা দ্বারা প্রকাশযোগ্য হবে। উদ্দীপকে $x$টি পাউরুটি ও $y$টি কেক তৈরি করলে মোট লাভ $(8x + 15y)$ টাকা, ময়দা লাগে $(200x + 300y)$ গ্রাম এবং ওভেন-সময় লাগে $(10x + 20y)$ মিনিট। প্রতিটি রাশিই $x$ ও $y$ এর একঘাত রাশি। তাই সমস্যাটি যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের মাধ্যমে সমাধানযোগ্য।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি, $x$টি পাউরুটি ও $y$টি কেক তৈরি হয়। অভীষ্ট ফাংশন $z = \text{Max}(8x + 15y)$।
   ময়দা: $200x + 300y \leq 6000$ বা $2x + 3y \leq 60$।
   ওভেন-সময়: $10x + 20y \leq 360$ বা $x + 2y \leq 36$।
   এবং $x \geq 0, y \geq 0$।

   যাচাই: $(14, 10)$ বিন্দুতে $2x + 3y = 28 + 30 = 58 \leq 60$ এবং $x + 2y = 14 + 20 = 34 \leq 36$। উভয় শর্ত সিদ্ধ হয়, তাই পরিকল্পনাটি সম্ভব। এতে লাভ $8 \times 14 + 15 \times 10 = 262$ টাকা।

   সর্বোচ্চ লাভ: রেখা $2x + 3y = 60$ অক্ষদ্বয়কে $(30, 0)$ ও $(0, 20)$ বিন্দুতে এবং $x + 2y = 36$ রেখা $(36, 0)$ ও $(0, 18)$ বিন্দুতে ছেদ করে। দুই রেখার ছেদবিন্দু: $2x + 4y = 72$ থেকে $2x + 3y = 60$ বিয়োগ করে $y = 12$, তাই $x = 12$। সম্ভাব্য এলাকার কৌণিক বিন্দু $O(0,0)$, $A(30,0)$, $B(12,12)$, $C(0,18)$।

   $O$ বিন্দুতে $z = 0$
   $A(30, 0)$ বিন্দুতে $z = 240$
   $B(12, 12)$ বিন্দুতে $z = 96 + 180 = 276$
   $C(0, 18)$ বিন্দুতে $z = 270$

   সর্বোচ্চ মান 276, যা $B(12, 12)$ বিন্দুতে। অতএব, 12টি পাউরুটি ও 12টি কেক তৈরি করলে সর্বোচ্চ লাভ 276 টাকা হবে, যা পরিকল্পনার লাভ (262 টাকা) অপেক্ষা 14 টাকা বেশি।