উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $x=2,\ y=3$ বসিয়ে পাই, $2x+y=2\times 2+3=7$। যেহেতু $7\le 10$ সত্য, তাই $(2,3)$ বিন্দুটি অসমতাটিকে সিদ্ধ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর প্রথমে অসমতাটিকে সমীকরণ $x+y=4$ ধরে সরলরেখা আঁকতে হয়; রেখাটি $(4,0)$ ও $(0,4)$ বিন্দু দিয়ে যায়। অসমতায় সমান চিহ্ন ($\ge$) থাকায় রেখাটি অঞ্চলের অন্তর্ভুক্ত, তাই তা অবিচ্ছিন্ন রেখায় আঁকা হয়। এরপর রেখার বাইরে একটি পরীক্ষা বিন্দু, যেমন মূলবিন্দু $(0,0)$ নিয়ে অসমতায় বসাই: $0+0\ge 4$ মিথ্যা। তাই মূলবিন্দু যে পাশে আছে সেটি সমাধান অঞ্চল নয়, মূলবিন্দুর বিপরীত পাশের অংশ (রেখাসহ) ছায়াবৃত করে সমাধান অঞ্চল চিহ্নিত করা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর সীমারেখা: $2x+y=10$ ও $x+y=4$ এবং অক্ষদ্বয়।

   $2x+y=10$ রেখা $x$-অক্ষকে $(5,0)$ এবং $y$-অক্ষকে $(0,10)$ বিন্দুতে ছেদ করে। $x+y=4$ রেখা $x$-অক্ষকে $(4,0)$ এবং $y$-অক্ষকে $(0,4)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $2x+y\le 10$ এর অঞ্চল মূলবিন্দুর দিকে এবং $x+y\ge 4$ এর অঞ্চল মূলবিন্দুর বিপরীত দিকে। $x\ge 0,\ y\ge 0$ হওয়ায় অঞ্চলটি প্রথম চতুর্ভাগে সীমাবদ্ধ।

   অতএব সমাধান অঞ্চলের শীর্ষবিন্দু: $(4,0),\ (5,0),\ (0,10),\ (0,4)$।

   ক্ষেত্রফল: মূলবিন্দু $O$, $(5,0)$ ও $(0,10)$ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times 5\times 10=25$ বর্গএকক। মূলবিন্দু, $(4,0)$ ও $(0,4)$ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$ বর্গএকক।

   সমাধান অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $=25-8=17$ বর্গএকক।