উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\cos(-\theta)=\cos\theta$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ঘূর্ণায়মান রশ্মি $OA$ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ কোণ করলে প্রথম চতুর্ভাগে এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে $\theta$ কোণ করলে চতুর্থ চতুর্ভাগে $OA'$ অবস্থান নেয়। $OA$ এর ওপর $P(x,y)$ নিয়ে $PN\perp OX$ আঁকি এবং বর্ধিত $PN$ এর সাথে $OA'$ এর ছেদবিন্দু $Q$। $\triangle OPN$ ও $\triangle OQN$ সর্বসম, তাই $QN=PN=y$ ও $OQ=OP=r$। $Q$ চতুর্থ চতুর্ভাগে বলে এর কোটি ঋণাত্মক, অর্থাৎ $Q(x,-y)$। অতএব $\sin(-\theta)=\frac{-y}{r}=-\frac{y}{r}=-\sin\theta$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sin(-A)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(-B)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(-A)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, $\sin(-B)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$। $\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$। আবার $A+B=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$, তাই $\sin\{-(A+B)\}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1$। সুতরাং রাশিটির মান $-1$, যা $\sin\{-(A+B)\}$ এর সমান (দেখানো হলো)।