উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$। এখানে $BD = \frac{1}{2} BC = 4$ মিটার।
   সুতরাং $7^2 + 9^2 = 2(AD^2 + 4^2)$
   বা, $49 + 81 = 2AD^2 + 32$
   বা, $2AD^2 = 98$
   বা, $AD^2 = 49$
   বা, $AD = 7$ মিটার।
   অতএব মধ্যমা $AD$ এর দৈর্ঘ্য $7$ মিটার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য থেকে পাই, $d^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$, $e^2 = \frac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4}$, $f^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}$।

   মান বসিয়ে: $d^2 = \frac{2(81 + 49) - 64}{4} = \frac{196}{4} = 49$,
   $e^2 = \frac{2(49 + 64) - 81}{4} = \frac{145}{4}$,
   $f^2 = \frac{2(64 + 81) - 49}{4} = \frac{241}{4}$।

   সুতরাং $d^2 + e^2 + f^2 = 49 + \frac{145}{4} + \frac{241}{4} = \frac{196 + 145 + 241}{4} = \frac{582}{4}$।
   বামপক্ষ ও ডানপক্ষ: $4(d^2 + e^2 + f^2) = 582$।
   আবার $a^2 + b^2 + c^2 = 64 + 81 + 49 = 194$ এবং $3 \times 194 = 582$।

   অতএব $3(a^2 + b^2 + c^2) = 4(d^2 + e^2 + f^2)$ [দেখানো হলো]।