উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $a > 0$ এবং $n \in N$, $n > 1$ হলে $a$ এর যে অনন্য ধনাত্মক $n$তম মূল পাওয়া যায়, তাকে $a$ এর মুখ্য $n$তম মূল বলে এবং $\sqrt[n]{a}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $C = \sqrt{-16}$ হলে এমন বাস্তব সংখ্যা $x$ লাগবে যেন $x^2 = -16$ হয়। কিন্তু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক, তাই ঋণাত্মক সংখ্যার জোড় মূল (এখানে বর্গমূল) বাস্তব সংখ্যায় নেই। অন্যদিকে $A = \sqrt[3]{-64}$ এর ক্ষেত্রে মূলের ক্রম 3 বিজোড়। বিজোড় ক্রমের মূলের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার একটি ঋণাত্মক মূল থাকে, কারণ $(-4)^3 = -64$। তাই $A = -4$ পাওয়া যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $A = \sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} = -4$ এবং $B = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$ (মুখ্য মূল)। প্রথম রাশি: $\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$। দ্বিতীয় রাশি: $A + B = -4 + 3 = -1$, তাই $\sqrt{(A+B)^2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$। আবার $|A + B| = |-1| = 1$। সুতরাং $\sqrt{(A+B)^2} = |A+B|$ (দেখানো হলো), যা $\sqrt{a^2} = |a|$ সূত্রের সত্যতা নির্দেশ করে।