উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যোগাশ্রয়ী সমস্যার সকল শর্ত বা সীমাবদ্ধতা দ্বারা সীমাবদ্ধ যে এলাকার প্রতিটি বিন্দু সব অসমতাকে সিদ্ধ করে, তাকে সম্ভাব্য সমাধান এলাকা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি, সালমা $x$ কেজি P ও $y$ কেজি Q খাদ্য মেশান; যেখানে $x \geq 0, y \geq 0$।
   মোট খরচ $(30x + 40y)$ টাকা। সর্বনিম্ন খরচ চাওয়া হয়েছে, তাই অভীষ্ট ফাংশন $z = \text{Min}(30x + 40y)$।
   ক্যালসিয়াম: $(6x + 3y) \geq 24$ বা $2x + y \geq 8$।
   আয়রন: $(2x + 4y) \geq 20$ বা $x + 2y \geq 10$।
   সুতরাং সীমাবদ্ধতাসমূহ: $2x + y \geq 8$; $x + 2y \geq 10$; $x \geq 0, y \geq 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর অভীষ্ট ফাংশন $z = 30x + 40y$ (সর্বনিম্ন); শর্ত: $2x + y \geq 8$, $x + 2y \geq 10$, $x \geq 0, y \geq 0$।

   সমীকরণ $2x + y = 8$ রেখা অক্ষদ্বয়কে $(4, 0)$ ও $(0, 8)$ বিন্দুতে এবং $x + 2y = 10$ রেখা $(10, 0)$ ও $(0, 5)$ বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু $(0,0)$ কোনো অসমতাকে সিদ্ধ করে না, তাই দুটি অসমতার লেখ রেখা দুটির মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে। ফলে সম্ভাব্য সমাধান এলাকা ওপরের দিকে উন্মুক্ত এবং এর কৌণিক বিন্দু তিনটি।

   রেখা দুটির ছেদবিন্দু: $2x + y = 8$ থেকে $y = 8 - 2x$। $x + 2y = 10$ এ বসিয়ে $x + 16 - 4x = 10$ বা $x = 2$, তাই $y = 4$। ছেদবিন্দু $(2, 4)$।
   কৌণিক বিন্দুগুলো: $(10, 0)$, $(2, 4)$, $(0, 8)$।

   $(10, 0)$ বিন্দুতে $z = 30 \times 10 + 40 \times 0 = 300$
   $(2, 4)$ বিন্দুতে $z = 30 \times 2 + 40 \times 4 = 60 + 160 = 220$
   $(0, 8)$ বিন্দুতে $z = 30 \times 0 + 40 \times 8 = 320$

   সর্বনিম্ন মান 220, যা $(2, 4)$ বিন্দুতে।
   অতএব, সালমা 2 কেজি P ও 4 কেজি Q খাদ্য মেশালে দৈনিক খরচ সর্বনিম্ন 220 টাকা হবে।