উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\tan\theta$ ফাংশনের পর্যায়কাল $\pi$ (বা $180^\circ$), কারণ $\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{r}{x}$। $\cos\theta = 0$ হলে $\sec\theta$ অসংজ্ঞায়িত, তাই ডোমেন $= R - \left\{(2n+1)\frac{\pi}{2} : n \in Z\right\}$।
   যেহেতু $-1 \le \cos\theta \le 1$ এবং $\cos\theta \neq 0$, তাই $\cos\theta$-এর পরমমান সর্বোচ্চ 1। ফলে $|\sec\theta| = \frac{1}{|\cos\theta|} \ge 1$। অর্থাৎ $\sec\theta \ge 1$ অথবা $\sec\theta \le -1$, কখনও $-1$ ও $1$-এর মধ্যবর্তী হয় না।
   সুতরাং রেঞ্জ $= R - (-1, 1)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $h(t) = 2 + 3\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$-এ $t$-এর সহগ $B = \frac{\pi}{6}$। $\sin$ ফাংশনের পর্যায় $2\pi$, তাই পর্যায়কাল $= \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ ঘণ্টা।
   আমরা জানি, $-1 \le \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \le 1$।
   তাই $2 - 3 \le h(t) \le 2 + 3$, অর্থাৎ $-1 \le h(t) \le 5$। সর্বোচ্চ উচ্চতা 5 মিটার এবং সর্বনিম্ন উচ্চতা $-1$ মিটার (মাপকাঠির নিচে)।
   সর্বোচ্চ উচ্চতার জন্য $\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 1$, অর্থাৎ $\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2}$ যা থেকে $t = 3$।
   সুতরাং প্রথমবার 3 ঘণ্টা পরে পানির উচ্চতা সর্বোচ্চ (5 মিটার) হবে এবং তা প্রতি 12 ঘণ্টা পরপর পুনরাবৃত্ত হবে।