উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর কোনো ভেক্টর (দিক নির্দেশক রেখাংশ) যে অসীম সরলরেখার অংশবিশেষ, সেই সরলরেখাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বা ধারক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর $m\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্যের $|m|$ গুণ এবং এর ধারক $\underline{u}$ এর ধারকের সাথে অভিন্ন। $m>0$ হলে $m\underline{u}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকের সাথে একমুখী হয়। আর $m<0$ হলে $m\underline{u}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকের বিপরীত হয়।

   উদাহরণ: $\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য 5 একক হলে $2\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য 10 একক এবং দিক $\underline{u}$ এর দিকে। কিন্তু $-2\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্যও 10 একক, তবে দিক $\underline{u}$ এর বিপরীত।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর যেহেতু $AB\parallel CD$, তাই $\vec{AB}=m\vec{CD}$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $|m|=\frac{AB}{CD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$।

   ভেক্টর দুটি একমুখী বলে $m>0$। সুতরাং $m=\frac{3}{2}$, অর্থাৎ $\vec{AB}=\frac{3}{2}\vec{CD}$।

   একমুখী অবস্থায়: $2\vec{AB}=3\vec{CD}$। তাই $2\vec{AB}-3\vec{CD}=3\vec{CD}-3\vec{CD}=\underline{0}$, অর্থাৎ শূন্য ভেক্টর, যার মান 0।

   CD দড়ির দিক উল্টে দিলে নতুন $\vec{CD}$ বিপরীতমুখী হয়, তখন $m=-\frac{3}{2}$ এবং $\vec{AB}=-\frac{3}{2}\vec{CD}$, ফলে $2\vec{AB}=-3\vec{CD}$। এক্ষেত্রে $2\vec{AB}-3\vec{CD}=-3\vec{CD}-3\vec{CD}=-6\vec{CD}$। এর মান $=|-6|\times|\vec{CD}|=6\times 8=48$ মিটার।

   উত্তর: $m=\frac{3}{2}$; একমুখী অবস্থায় মান $0$ এবং দিক উল্টানোর পর মান $48$ মিটার।